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三重积分ds等于什么？

ds表示弧微分 （ds）^2=(dx)^2+(dy)^2 ds dx dy 构成微分三角形，ds是斜边。 用弧的增量去乘一个函数的物理意义：这个函数代表线密度函数，所以ds 的积分表示曲线形构件的质量，在数学上这个积分叫做：对弧长的曲线积分。

极坐标弧长积分相关，ds=√(r(θ)^2+r'(θ)^2)dθ这个式子是怎么推导出的？

ds=√[(dx)2+(dy)2]=√[(dx)2+(y')2(dx)2]=√[1+(y')2]dx x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ √[1+(y')2]dx=√[1+(d(rsinθ)/dx)2]dx =√[1+((d(rsinθ)/dθ)*dθ/dx)2]*(dx/dθ)dθ =√[(dx/dθ)2+(d(r(θ)sinθ)/dθ)2]dθ =√[(dx/dθ)2+(r'(θ)sinθ+r(θ)cosθ)2]dθ =√[(r'(θ)cosθ-r(θ)sinθ)2+(r'(θ)sinθ+r(θ)cosθ)2]dθ =√[(r'(θ))2+(r(θ))2]dθ

dx，求表面积为什么不用dx，而用ds，都是？

咱们先用朴素的累和形式讨论 -- 之后再考虑严格的积分。把区间分成小段, 其中 是分割点。记任何一个上的截面上任一点与平面成的角为 .每一个小段 上的截面积约等于注意这个 !把这个环面拆成一个个小平面，每个小平面都是斜面,所以总的来看不是一个圆柱体。因此半球的表面积约等于积分形式就是把分割加细直到粒度趋于零（累和和积分这两个式子有多像）：如果忽略了, 我们将得到一个错误的积分：顺便提，上面这个积分在（重新）推圆的面积的时候可以用到（题主已经在用了）。

d*ds的二重积分是什么意思？

1的二重积分即“∫∫dxdy”，该二重积分的计算只需要用到积分的几何意义，被积函数为1的二重积分的值等于积分区域的面积，即“∫∫dxdy=D”，其中，D为积分区域S的面积。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xOy平面上方的取正，在xOy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

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